7–8. sınıf matematik

Rasyonel Sayı Nedir? −2, 0, √2 ve π Rasyonel mi?

a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen her sayı rasyonel sayıdır. Bu yüzden −2, −3, 0, 5, 3/4 ve 0,333… rasyoneldir; √2 ve π ise kesir olarak yazılamadığı için irrasyoneldir.

Bir sayının rasyonel olup olmadığı nasıl anlaşılır?

Kendine şu soruyu sor: “Bu sayıyı payı ve paydası tam sayı olan bir kesir olarak yazabilir miyim?” Cevap evetse sayı rasyoneldir. Payda hiçbir zaman 0 olamaz.

Ondalık gösterime bakmak da işe yarar: Ondalık kısmı biten (0,25 gibi) ya da belli bir düzenle sonsuza kadar tekrar eden (0,333… veya 0,1818… gibi) sayılar rasyoneldir. Ondalık kısmı hiç tekrar etmeden sonsuza kadar devam eden sayılar irrasyoneldir.

−1, −2 ve −3 rasyonel mi?

Evet. Her tam sayı paydası 1 olan bir kesir olarak yazılabilir: −1 = −1/1, −2 = −2/1, −3 = −3/1. Aynı sayıyı −4/2 ya da −6/3 diye de yazabiliriz. Negatif olmak rasyonelliği değiştirmez; bütün negatif tam sayılar rasyoneldir.

−2 = −2/1 = −4/2 → rasyonel
−3 = −3/1 = −9/3 → rasyonel
−1,5 = −3/2 → rasyonel

Sıfır (0) rasyonel sayı mı?

Evet. 0 = 0/1 = 0/5 olarak yazılabilir; pay 0 olabilir, sorun paydanın 0 olmasıdır. Yani 0 bir rasyonel sayıdır, ama 5/0 gibi paydası 0 olan bir ifade tanımsızdır.

√2, √3 ve π neden irrasyonel?

√2 = 1,41421356… biçiminde hiç tekrar etmeden devam eder ve hiçbir kesre eşit değildir. Tam kare olmayan doğal sayıların karekökleri (√2, √3, √5, √8…) irrasyoneldir. Buna karşılık √4 = 2, √9 = 3 ve √(1/4) = 1/2 rasyoneldir.

π = 3,14159265… da irrasyoneldir. Okulda kullandığımız 3,14 ya da 22/7 yalnızca π’ye yakın değerlerdir; π’nin kendisi değildir.

√16 = 4 → rasyonel
√12 = 2√3 → irrasyonel
0,121212… = 12/99 → rasyonel
0,1010010001… → irrasyonel

Sayı kümeleri arasındaki ilişki

Doğal sayılar (0, 1, 2, …) tam sayıların; tam sayılar (…, −2, −1, 0, 1, 2, …) rasyonel sayıların içindedir. Rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayıları oluşturur. Bir sayı aynı anda hem rasyonel hem irrasyonel olamaz.

Deneyerek öğren: etkinlikler

Her Zaman mı, Bazen mi, Asla mı? – Matematiksel iddiaları örnek ve karşı örneklerle incele.
Karşı Örnek Bulma Etkinliği – Yanlış genellemeleri çürüten örnekler oluştur.
Sayı doğrusunda yer bul (7. Sınıf)
Mutlak değer: 0’a uzaklık (7. Sınıf)
Hangi sayı ailesi? (7. Sınıf)
Hayatın içindeki sayılar (7. Sınıf)
Böl ve ondalığa çevir (7. Sınıf)
Kesir ↔ ondalık gösterim (7. Sınıf)
Biter mi, döner mi? (7. Sınıf)
Fişte, tabelada, hesap makinesinde (7. Sınıf)
Hesap makinesi ne gösteriyor? (8. Sınıf)
Sayı ve ondalık gösterimi (8. Sınıf)
Rasyonel mi, irrasyonel mi? (8. Sınıf)
Ondalık gösterimden karara (8. Sınıf)

Oyunlar

Kök Dükkanı – Kareköklü İfadeler Oyunu
Sayı Doğrusu Tahmini – Sayı Doğrusunda Tahmin Oyunu

Sanal manipülatifler

Online Sayı Doğrusu – Sayı doğrusunda noktalar işaretle, sıçramalarla toplama-çıkarma yap.
Kesir Sayı Doğrusu – Kesir ve ondalıkları yakınlaştırılabilir sayı doğrusunda incele.

Sık sorulan sorular

−2 rasyonel sayı mıdır?

Evet. −2 = −2/1 biçiminde, payı ve paydası tam sayı olan bir kesir olarak yazılabildiği için rasyoneldir.

Sıfır rasyonel sayı mıdır?

Evet. 0 = 0/1 olarak yazılabilir. Paydası 0 olan ifadeler tanımsızdır ama payın 0 olması sorun değildir.

Kök 2 rasyonel mi, irrasyonel mi?

√2 irrasyoneldir. Ondalık açılımı 1,41421… diye tekrar etmeden sürer ve hiçbir kesre eşit değildir.

Pi sayısı rasyonel mi?

Hayır, π irrasyoneldir. 22/7 ve 3,14, π’ye yaklaşık değerlerdir.

Devirli ondalık sayılar rasyonel mi?

Evet. 0,333… = 1/3 ve 0,1818… = 2/11 gibi devirli ondalık sayıların hepsi bir kesre eşittir, bu yüzden rasyoneldir.